数学 · 加权求和

加权求和：不把每个数据平等看待，而是根据每个数据的重要性（即权重）来分配不同的比例，然后再把它们加起来。

公式

假设有数据 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ ，对应的权重 $w_1, w_2, \ldots, w_n$ ，则加权求和为：

\begin{aligned} S &= x_1 \times w_1 + x_2 \times w_2 + \cdots + x_n \times w_n \\ &= \sum_{i=1}^{n} x_i \times w_i \end{aligned}

其中：

大写希腊字母 $\Sigma$ 叫 求和符号（Summation Notation），读作 "sigma"（西格玛），数学中专门用来表示一系列项的累加。
理解 $\sum_{i=1}^{n} x_i \times w_i$ ，拆解成三个部分来看：

\sum_{\substack{i=1 \\ \uparrow \\ \text{下界}}}^{\substack{n \\ \uparrow \\ \text{上界}}} \quad \underbrace{x_i w_i}_{\substack{\uparrow \\ \text{通项公式}}}

完整含义：令 $i$ 依次取 $1, 2, 3, \ldots, n$ ，将每次得到的 $x_i \times w_i$ 的值全部相加。，对应加权求和。

简洁：当 $n$ 很大或不确定时，不可能把每一项都写出来， $\sum$ 一行就搞定。
通用： $i$ 只是一个哑变量（dummy variable），换成 $j$ 、 $k$ 意义完全相同： $\sum_{j=1}^{n} x_j w_j$ 。
可运算：求和符号有丰富的代数性质（线性性、交换次序、拆分合并等），方便后续推导证明。

在论文、教材和技术文档中，几乎总是使用 $\sum$ 的形式。

普通求和：每个数据权重都是 1，一视同仁，例如：3 + 5 =8；
加权求和：权重不同，重要的数据占的比重大，例：如果 3 的权重是 2，5 的权重是 1，结果就是 $3 \times 2 + 5 \times 1 = 11$ 。

期末成绩计算：

总评就是： $90 \times 0.3 + 80 \times 0.7 = 27 + 56 = 83$ 分。

这里 0.3 和 0.7 就是权重，它们体现了期末成绩更重要。

常见于：

总结：加权求和就是“按重要性打折后再相加”。